Question

13．【探索研究】我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象性質(zhì)．
（1）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，畫出上述函數(shù)圖象．

X	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	$\frac{17}{4}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{17}{4}$	…

（2）觀察圖象，寫出該函數(shù)的一個性質(zhì)．
【閱讀理解】當(dāng)x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$=${（{\sqrt{x}}）^2}+{（{\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}={（{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}+2$
（3）由此可見，當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值為2．
【變形應(yīng)用】
（4）求函數(shù)y=x+$\frac{1}{x+1}$（x＞-1）的最小值，并指出y取得最小值時相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格給定數(shù)據(jù)描點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，找出函數(shù)的性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象與【閱讀理解】可得出，當(dāng)x=1時，函數(shù)取最小值2，由此即可得出結(jié)論；
（4）將函數(shù)轉(zhuǎn)化成y=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，根據(jù)（3）的結(jié)論即可得出：當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值1．

解答 解：（1）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，畫出上述函數(shù)圖象，如圖所示．
（2）觀察函數(shù)圖象，可得出函數(shù)的性質(zhì)：
當(dāng)0＜x＜1時，y隨x的增大而減��；
當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；
當(dāng)x=1時，y取最小值為2．（寫出一個即可）．
（3）結(jié)合函數(shù)圖象與【閱讀理解】可得出，當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值為2．
故答案為：1；2．
（4）函數(shù)y=x+$\frac{1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，
∵當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值為2，
∴當(dāng)x+1=1時，函數(shù)y=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1（x＞-1）的最小值為2-1=1，
此時x=0．
故當(dāng)x=0時，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x+1}$（x＞-1）取最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)畫出圖形；（2）結(jié)合函數(shù)圖象的增減性寫出函數(shù)的性質(zhì)；（3）根據(jù)給定不等式以及函數(shù)圖象解決最值問題；（4）將原函數(shù)變形為y=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過函數(shù)圖象找出函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．