Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A：∠C=1：2，AB=2，CD=1，求：
（1）∠A、∠C的度數(shù)；
（2）AD、BC的長度．

Answer 1

考點：多邊形內(nèi)角與外角,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由四邊形內(nèi)角和為360°及∠B=∠D=90°，得出∠A+∠C=180°，又∠A：∠C=1：2，即可求出∠A、∠C的度數(shù)；
（2）延長AD與BC，兩延長線交于點E，由∠B=∠D=90°，得到三角形ABE與三角形CDE都為直角三角形，由∠A=60°，得到∠E=30°，在直角三角形CDE中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)CD的長求出DE的長，同理在直角三角形ABE中，由AB的長求出AE的長，用AE-DE求出AD的長，用BE-CE求出BC的長即可．

解答：解：（1）在四邊形ABCD中，∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠C=180°，
又∠A：∠C=1：2，
∴∠A=60°，∠C=120°；

（2）延長AD與BC，兩延長線交于點E，如圖所示，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE中，CD=1，
∴CE=2CD=2，
根據(jù)勾股定理得：DE=

CE2-CD2

=

3

，
在Rt△ABE中，AB=2，
∴AE=2AB=4，
根據(jù)勾股定理得：BE=

AE2-AB2

=2

3

，
則AD=AE-DE=4-

3

，BC=BE-CE=2

3

-2．

點評：此題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．