Question

14．平面直角坐標系中，已知y₁=-x+2分別交x軸，y軸于點A和點B．

（1）若y₂=（x-1）²-k²（k＞0）與x軸交于點A，求k的值；
（2）當k≠1時，y₂=（x-1）²-k²（k＞0）交x軸于點C，D（C在左邊），交y軸于點M．過點D作y軸的平行線，交y₁于點E，作矩形CDEF，連結(jié)MF．根據(jù)題意畫出草圖，并回答：
①若矩形CDEF在x軸上方，求出此時k的取值范圍，并比較此時點M與點F縱坐標的大�。�
②當k為何值時，S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．

Answer 1

分析 （1）先求得A的坐標，將點A的坐標代入拋物線的解析式可求得k的值；
（2）①把y=0代入y₂=（x-1）²-k²，可求得：x=1±k，從而得到D、C兩點的坐標，然后在求得點E的坐標，最后依據(jù)點E的縱坐標列不等式求解即可，然后再求得點M的縱坐標和點F的縱坐標，最后依據(jù)k的范圍可求確定出它們的大��；②由題意得可得到F（1-k，1-k），則當S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．時，OM=CD，然后分為0＜k＜1和k＞1兩種情況列方程求解即可．

解答 解  （1）將y₁=0代入得：-x+2=0，解得：x=2，
∴A（2，0）．
將點A的坐標代入拋物線的解析式得：0=1²-k²，解得：k=±1．
∵k＞0，
∴k=1．
（2）①如圖1所示：

∵矩形在x軸上方，
∴點D在A左側(cè)．
把y=0代入y₂=（x-1）²-k²，得0=（x-1）²-k²，
解得：x=1±k．
∵k＞0，
∴D（1+k，0），C（1-k，0）．
∴E（1+k，-k+1）．
∵點E在x軸的上方，
∴-k+1＞0，解得：k＜1．
又∵k＞0，
∴0＜k＜1．
由題意可得：M縱坐標為1-k²，F(xiàn)縱坐標為1-k，
∴1-k²-（1-k）=k（1-k）＞0
∴時M縱坐標＞F縱坐標．
②∵F（1-k，1-k），
∴點F到OM的距離等于點F到CD的距離．
∴△OMF與矩形CDEF等高，
∴當S_△OMF=$\frac{1}{2}$S_矩形CDEF．時，OM=CD
（i）當0＜k＜1時，1-k²=2k
解得：k=-1-$\sqrt{2}$（舍去）或k=-1$+\sqrt{2}$
（ii）當k＞1時，k²-1=2k，
解得：k=1-$\sqrt{2}$（舍去）或k=1+$\sqrt{2}$．
綜上所述：k=-1+$\sqrt{2}$或k=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式，依據(jù)點E的縱坐標為正數(shù)列出關于k的不等式是解答（2）①的關鍵，依據(jù)OM=CD列出關于k的方程是解答（2）②的關鍵．