Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）AB=2，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用AB=CB得到∠C=∠BAC=45°，則利用三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷BC是⊙O的切線；
（2）設AC交⊙O于D，連結BD，先根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，則可判斷△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，然后利用弓形AD的面積等于弓形BD的面積得到陰影部分的面積=S_△BCD．

解答 （1）證明：∵AB=CB，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
而AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：設AC交⊙O于D，連結BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
而∠BAC=45°，
∴△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴弓形AD的面積等于弓形BD的面積，
∴陰影部分的面積=S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．解決本題的關鍵是利用等腰直角三角形的性質把陰影部分的面積轉化為三角形的面積．