Question

20．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-5與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；
（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；
（4）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法直接確定出拋物線解析式；
（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點D的坐標；
（3）先求出直線BC的解析式，進而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關系式，即可求出最大值；
（4）利用對稱性找出點P，Q的位置，進而求出P，Q的坐標．

解答 解：（1）∵點A（-1，0），B（5，0）在拋物線y=ax²+bx-5上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為y=x²-4x-5，

（2）如圖1，令x=0，則y=-5，
∴C（0，-5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5$\sqrt{2}$，
要使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，則有$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{BC}$或$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
①當$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{BC}$時，
CD=AB=6，
∴D（0，1），
②當$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$時，
∴$\frac{6}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{CD}$，
∴CD=$\frac{25}{3}$，
∴D（0，$\frac{10}{3}$），
即：D的坐標為（0，1）或（0，$\frac{10}{3}$）；

（3）設H（t，t²-4t-5），
∵CE∥x軸，
∴點E的縱坐標為-5，
∵E在拋物線上，
∴x²-4x-5=-5，
∴x=0（舍）或x=4，
∴E（4，-5），
∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，-5），
∴直線BC的解析式為y=x-5，
∴F（t，t-5），
∴HF=t-5-（t²-4t-5）=-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵CE∥x軸，HF∥y軸，
∴CE⊥HF，
∴S_{四邊形CHEF}=$\frac{1}{2}$CE•HF=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
當t=$\frac{5}{2}$時，四邊形CHEF的面積最大為$\frac{25}{2}$．
當t=$\frac{5}{2}$時，t²-4t-5=$\frac{25}{4}$-10-5=-$\frac{35}{4}$，
∴H（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{4}$）；

（4）如圖2，∵K為拋物線的頂點，
∴K（2，-9），
∴K關于y軸的對稱點K'（-2，-9），
∵M（4，m）在拋物線上，
∴M（4，-5），
∴點M關于x軸的對稱點M'（4，5），
∴直線K'M'的解析式為y=$\frac{7}{3}$x-$\frac{13}{3}$，
∴P（$\frac{13}{7}$，0），Q（0，-$\frac{13}{3}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積的計算方法，對稱性，極值的確定，解（2）的關鍵是分類討論，解（3）的關鍵是表示出HF，解（4）的關鍵是利用對稱性找出點P，Q的位置，是一道中等難度的題目．