Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別是對角線AC、BD的中點(diǎn)，又AD、BC的延長線交于P，求證：S_△PMN=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}．

Answer 1

分析 先連接DM，BM，根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得到△ADM的面積+△ABM的面積=$\frac{1}{2}$×四邊形ABCD的面積，根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得到△BPM的面積=$\frac{1}{2}$×△ABP的面積，最后根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，得到△PMN的面積=△BPM的面積-△BPN的面積-△BMN的面積=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}．

解答 解：如圖所示，連接DM，BM，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴△ADM的面積=$\frac{1}{2}$×△ACD的面積，△ABM的面積=$\frac{1}{2}$×△ACB的面積，
∴△ADM的面積+△ABM的面積=$\frac{1}{2}$（△ACD的面積+△ACB的面積）=$\frac{1}{2}$×四邊形ABCD的面積，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴△BPM的面積=△MPC的面積+△MBC的面積
=$\frac{1}{2}$×△ACP的面積+$\frac{1}{2}$×△ABC的面積
=$\frac{1}{2}$×△ABP的面積，
∵N是BD的中點(diǎn)，
∴△BPN的面積=$\frac{1}{2}$×△BDP的面積，△BMN的面積=$\frac{1}{2}$×△BDM的面積，
∴S_△PMN=△BPM的面積-△BPN的面積-△BMN的面積
=$\frac{1}{2}$×△ABP的面積-$\frac{1}{2}$×△BDP的面積-$\frac{1}{2}$×△BDM的面積
=$\frac{1}{2}$（△ABP的面積-△BDP的面積-△BDM的面積）
=$\frac{1}{2}$（△ADM的面積+△ABM的面積）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×S_{四邊形ABCD}
=$\frac{1}{4}$S_{四邊形ABCD}

點(diǎn)評 本題考查的是三角形中線性質(zhì)的應(yīng)用，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．