Question

2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，在CB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)A作AE⊥AD，過點(diǎn)C作CE⊥CB，AE與CE交于點(diǎn)E，連接BE，延長(zhǎng)△ADC的中線AF交BE于點(diǎn)G．
求證：AG⊥BE．

Answer 1

分析 如圖作AH⊥CD于H．首先證明△DAB≌△EAC，推出BD=EC，由FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH，推出BD=2FH，推出EC=2FH，由$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，∠AHF=∠BCE，推出△AFH∽△BEC，推出∠FBH=∠FAH，由∠BFG=∠AFH，可得∠BGF=∠AHF=90°．

解答 證明：如圖作AH⊥CD于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=EC，
∵FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH，
∴BD=2FH，
∴EC=2FH，∵BC=2AH，
∴$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，∵∠AHF=∠BCE，
∴△AFH∽△BEC，
∴∠FBH=∠FAH，
∵∠BFG=∠AFH，
∴∠BGF=∠AHF=90°，
∴AG⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．