Question

20．如圖，直角坐標(biāo)系中．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E．
（1）△OBC與△ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論；
（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P使△PAE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判斷△OBC≌△ABD；
（2）由△OBC≌△ABD得到∠BAD=∠BOC=60°，則利用平角定義可計(jì)算出∠OAE=60° 然后在Rt△EOA中，利用正切定義可計(jì)算出OE=$\sqrt{3}$，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$），于是可判斷點(diǎn)E的位置不發(fā)生變化；
（3）先計(jì)算出AE=2，再分類(lèi)討論：當(dāng)EP=EA=2時(shí)，以點(diǎn)E為圓心，2為半徑作圓交y軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為P點(diǎn)，容易得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AE=AP時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{3}$）；當(dāng)PE=PA時(shí)，作AE的垂直平分線交y軸于P點(diǎn)，連結(jié)PA，如圖，設(shè)P（0，t），則PE=PA=$\sqrt{3}$-t，在Rt△OPA中，利用勾股定理得到t²+1²=（$\sqrt{3}$-t）²，解得t=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．

解答 解：（1）△OBC與△ABD全等．理由如下：
∵△AOB、△CBD都是等邊三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD；
（2）點(diǎn)E位置不變．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∴∠OAE=180°-60°-60°=60°
在Rt△EOA中，EO=OA•tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）；
（3）存在．
在Rt△EOA中，∵OE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2，
當(dāng)EP=EA=2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\sqrt{3}$-2）；
當(dāng)AE=AP時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{3}$）；
當(dāng)PE=PA時(shí)，作AE的垂直平分線交y軸于P點(diǎn)，連結(jié)PA，如圖，
設(shè)P（0，t），則PE=$\sqrt{3}$-t，
∴PA=$\sqrt{3}$-t，
在Rt△OPA中，t²+1²=（$\sqrt{3}$-t）²，解得t=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\sqrt{3}$-2）或（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是利用分類(lèi)討論的思想求P點(diǎn)坐標(biāo)．