Question

如圖，已知∠ACD=90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于B．
（1）當(dāng)MN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖①位置時(shí)，求證：BD+AB=

2

CB；
（2）當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，BD、AB、CB滿足怎樣關(guān)系式，請直接寫答案不必證明；
（3）當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③位置時(shí)，BD、AB、CB之間又存在怎樣關(guān)系式，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形ACDB內(nèi)角和為360°得到∠EAC=∠BDC，再求出△ECB為等腰直角三角形，進(jìn)而得到BD+AB=

2

CB；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=

2

CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；
（3）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答：解：（1）如圖①，過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，
∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠EAC=∠BDC AC=DC ∠BCD=∠ACE

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=

2

CB．
（2）如圖②：AB-BD=

2

CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．
如圖③BD-AB=

2

CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE和△DCB中，

∠BCD=∠ACE AC=DC ∠CAE=∠D

，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=

2

CB．

（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況，
若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD=

2

BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=

3

．
∴CB=

3

+1
若是第二個(gè)圖：過D作DH⊥CB交CB延長線于H．
解法類似上面，CD=2，但是CB=

3

-1．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．