Question

7．已知兩個(gè)全等的直角三角板ABC，DEF（如圖1）放置，點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠C=∠EFD=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=2．
（1）求證：△EGB是等腰三角形；
（2）若△ABC不動(dòng)，問△DEF繞點(diǎn)F順時(shí)針最少旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，四邊形ACDE成為以DE為底的梯形？（如圖2）并求此梯形的高．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，即可發(fā)現(xiàn)∠EBG=∠E=30°，從而證明結(jié)論；
（2）要使四邊形ACDE成為以ED為底的梯形，則需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）證明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E．
∴GE=GB，
則△EGB是等腰三角形；

（2）解：要使四邊形ACDE成為以ED為底的梯形，
則需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．
∴△DEF繞點(diǎn)F順時(shí)針最少旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，四邊形ACDE成為以DE為底的梯形．
設(shè)BC與DE的交點(diǎn)是H．
在直角三角形DFE中，∠FDH=60°，DF=$\frac{1}{2}$DE=1，
在直角三角形DFH中，F(xiàn)H=DF•cos∠BFD=1×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則CH=BC-BH=AB•cos∠ABC-（BF-FH）=$\sqrt{3}$-（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．
即此梯形的高是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的判定，梯形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出DF．