Question

4．已知，如圖，拋物線y=ax²+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值．
（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？如存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中，求出待定系數(shù)的值，即可得出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AC于E，則E（m，-$\frac{3}{4}$m-3），可得到當(dāng)△ADC面積有最大值時(shí)，四邊形BCD的面積最大值，然后列出四邊形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得此時(shí)m的取值范圍；
（3）本題應(yīng)分情況討論：①過(guò)C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，此時(shí)P、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；②將AC平移，令C點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、A點(diǎn)落在拋物線（即P點(diǎn)）上；可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)（P、C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{3}{4}$，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3
（2）令y=0，則$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=0，解得x₁=1，x₂=-4
∴A（-4，0）、B（1，0）
令x=0，則y=-3
∴C（0，-3）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$
設(shè)D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m-3）
過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AC于E．直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-3，則E（m，-$\frac{3}{4}$m-3）

DE=-$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$（m+2）²+3
當(dāng)m=-2時(shí)，DE有最大值為3
此時(shí)，S_△ACD有最大值為$\frac{1}{2}$×DE×4=2DE=6
∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+$\frac{15}{2}$=$\frac{27}{2}$．
（3）如圖所示：

①過(guò)點(diǎn)C作CP₁∥x軸交拋物線于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點(diǎn)E₁，此時(shí)四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P₁（x，-3）
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=-3
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P（x，3），
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=3，
解得x=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P₂（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）或P₃（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3）
綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P₁（-3，-3）或P₂（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）或P₃（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．