Question

11．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如表所示：

x	…	0	1	2	3	4	5	…
y	…	4	1	0	1	4	9	…

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
（2）若將此圖象沿x軸向右平移3個(gè)單位，請寫出平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式：y=（x-5）²；
（3）設(shè)點(diǎn)P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）都在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，問：當(dāng)m＜-3時(shí)，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=1或3時(shí)，y=1，根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸為x=2，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；
（3）先將點(diǎn)P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)代入y=（x-2）²，得到y(tǒng)₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，再根據(jù)不等式的性質(zhì)及m＜-3得出y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判斷y₂+y₃-y₁＞0，即y₂+y₃＞y₁，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理即可得出當(dāng)m＜-3時(shí)，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長．

解答 解：（1）根據(jù)拋物線的對稱性，觀察表格可知，
拋物線的對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
（2）設(shè)拋物線為y=a（x-2）²，
代入（1，1）解得，a=1，
∴拋物線為y=（x-2）²，
由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=（x-2）²向右平移3個(gè)單位所得的拋物線的表達(dá)式是y=（x-2-3）²，即y=（x-5）²．
（3）當(dāng)m＜-3時(shí)，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長．理由如下：
∵y=（x-2）²，
∴y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，
∵m＜-3，
∴y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜-4＜0，
∵y₂+y₃-y₁=（m-1）²+m²-（m-2）²=m²+2m-3=（m+3）（m-1），
∴y₂+y₃-y₁＞0，
∴y₂+y₃＞y₁，
∴當(dāng)m＜-3時(shí)，y₁、y₂、y₃的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長．
故答案為（2，0）；y=（x-5）²．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移規(guī)律，不等式的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．