Question

18．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，ED⊥AE，ED交AC于點(diǎn)M，BF⊥AC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)N，給出下列結(jié)論：①△ABN≌△ECM；②tan∠EAC=$\frac{1}{3}$；③AF：FM：CM=3：7：5，其中正確的是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)SAS判定△ABE≌△DCE，得出△ADE是等腰直角三角形，再根據(jù)ASA即可判定△ABN≌△ECM；根據(jù)CE∥AD，即可得到$\frac{EM}{DM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得出EM=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$AE，即可得到Rt△AEM中，tan∠EAC=$\frac{EM}{AE}$=$\frac{1}{3}$；根據(jù)射影定理即可得到AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根據(jù)CE∥AD，即可得到CM=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，再根據(jù)FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{7}{15}\sqrt{5}$，即可得出AF：FM：CM=3：7：5．

解答 解：E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，而AE⊥DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=45°，
∴AB=BE=CE=CD，
∵ED⊥AE，∠ABE=90°，
∴∠BAN+∠AEB=90°，∠CEM+∠AEB=90°，
∴∠BAN=∠CEM，
∵Rt△ABC中，BF⊥AC，
∴∠ABN+∠BAC=90°，∠ECM+∠BAC=90°，
∴∠ABN=∠ECM，
在△ABN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAN=∠CEM}\\{AB=EC}\\{∠ABN=∠ECM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ECM（ASA），故①正確；

∵CE∥AD，
∴$\frac{EM}{DM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$AE，
∴Rt△AEM中，tan∠EAC=$\frac{EM}{AE}$=$\frac{1}{3}$，故②正確；

設(shè)AB=BE=CE=CD=1，則Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5}$，
∵BF⊥AC，
∴AB²=AF×AC，即1=AF×$\sqrt{5}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵CE∥AD，
∴$\frac{CM}{AM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{7}{15}\sqrt{5}$，
∴AF：FM：CM=3：7：5，故③正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例定理以及射影定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．