Question

10．動手實(shí)驗(yàn)：利用矩形紙片（如圖1）剪出一個正六邊形紙片；再利用這個正六邊形紙片做一個無蓋的正六棱柱（棱柱底面為正六邊形），如圖2．
（1）做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為多少？
（2）在（1）的條件下，當(dāng)矩形的長為2a時，要使無蓋正六棱柱側(cè)面積最大，正六棱柱的高為多少？并求此時矩形紙片的利用率為多少？（矩形紙片的利用率=$\frac{無蓋正六棱柱的表面積}{矩形紙片的面積}$）

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，利用正六邊形的性質(zhì)，設(shè)出矩形的長寬和正六邊形的半徑，利用特殊角的三角函數(shù)用正六邊形的半徑表示出矩形的長與寬解決問題；
（2）利用（1）中的邊關(guān)系，設(shè)出正六邊形高為x，表示出正六邊形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）如圖所示：
由于正六邊形內(nèi)角和為（6-2）×180°=720°，則其一角的角平分線所分的兩個角同為60°；
設(shè)所需矩形的長寬分別為A、B，剪出的正六邊形半徑長為L，那么
A=2L，B=2L•sin60°=$\sqrt{3}$L；
因此，所求長寬比為A：B=（2L）：（$\sqrt{3}$L）=2：$\sqrt{3}$．
做一個這樣的正六棱柱所需最小的矩形紙片的長與寬的比為：2：$\sqrt{3}$；

（2）∵矩形的長為2a，寬為：$\sqrt{3}$a，
∴正六邊形邊長為a，其面積為：S，
設(shè)高為x，S=-4$\sqrt{3}$x²+6ax，
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a時，S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²，
此時，底面積=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a²，S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a²=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$a²，
故利用率=$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}{a}^{2}}{2\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評 此題考查正多邊形的性質(zhì)運(yùn)用以及二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，注意利用面積建立模型，解決實(shí)際問題．