Question

【題目】如圖，PA與⊙O相切于點A，AB是⊙O的直徑，在⊙O上存在一點C滿足PA＝PC，連結PB、AC相交于點F，且∠APB＝3∠BPC，則＝_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

連接OP，OC，證明△OAP≌△OCP，可得PC與⊙O相切于點C，證明BC=CP，設OM＝x，則BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y,證得△AMP∽△OAP，可得：，證明△PMF∽△BCF，由可得出答案.

解：連接OP，OC.

∵PA與⊙O相切于點A，PA＝PC，

∴∠OAP＝90°，

∵OA＝OC，OP＝OP，

∴△OAP≌△OCP（SSS），

∴∠OAP＝∠OCP＝90°，

∴PC與⊙O相切于點C，

∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，

∴∠CPB＝∠OPB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA＝90°，

∵OP⊥AC，

∴OP∥BC，

∴∠CBP＝∠CPB，

∴BC＝CP＝AP．

∵OA＝OB，

∴OM＝．

設OM＝x，則BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y，

∵∠OAP＝∠AMP＝90°，∠MPA＝∠APO，

∴△AMP∽△OAP，

∴．

∴AP2＝PMOP，

∴（2x）2＝y（y+x），

解得：，（舍去）．

∵PM∥BC，

∴△PMF∽△BCF，

∴＝．

故答案為：．