Question

（本題滿分10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B 向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點， HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．

 

（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）當x為何值時，△HDE為等腰三角形?

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；

（2）；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對稱性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的兩個直角相等，那么所求的三角形相似；

（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5兩種情況討論，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值即可求得最大值；

（3）等腰三角形有兩邊相等，根據(jù)所在的不同位置再分不同的邊相等解答．

試題解析：（1）∵A、D關(guān)于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，

∴，∴△DHQ∽△ABC．

（2）①如圖1，當時， ED=，有相似得QH=，此時

．

②如圖2，當時，有相似得QH=，ED=，

此時．

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

（3）①如圖1，當時，

若DE=DH，∵有相似DH=AH=， DE=，∴=，．

∵∠DEH>900顯然ED=EH，HD=HE不可能；

②如圖2，當時，

若DE=DH，=，；

若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，；

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，∴，，．

∴當x的值為時，△HDE是等腰三角形.

考點：1．二次函數(shù)的最值；2．等腰三角形的判定；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．