Question

10．在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．如圖，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P₁，線段EP₁長度的取值范圍為$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}-2≤E{P_1}≤7$．

Answer 1

分析 由①當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小；
②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，即可求得線段EP₁長度的最大值與最小值

解答 解：①如圖1，過點B作BD⊥AC于點D，

∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
②如圖2，

當(dāng)P在AC上運動至點A，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值為：EP₁=BA₁+BE=5+2=7，
綜上，線段EP₁長度的取值范圍為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2≤EP₁≤7，
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2≤EP₁≤7．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系．