Question

20．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點．以O為圓心，OE長為半徑的半圓交AB于E、F兩點，D是其上一動點（可以與E、F兩點重合），CD是小半圓的切線，D為切點．已知AO=4，EO=2，設陰影部分的面積為S，則S的取值范圍是2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先確定S最大和最小時，C的位置，C的位置確定，則D有唯一的位置對應；①當C與B重合時，如圖1，此時S最小；②當C與A重合時，如圖2，此時S最大，根據(jù)面積差求出即可．

解答 解：連接OD，
∵DC為⊙O的切線，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，
①當C與B重合時，如圖1，
Rt△ODB中，OD=2，OB=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$，
∴∠DOB=60°，
∴S=S_△ODB-S_扇形ODF=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$；
②當C與A重合時，如圖2，
∴S=$\frac{1}{2}$（π•4²-π•2²）-（2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$），
=6π-2$\sqrt{3}$+$\frac{2π}{3}$，
=$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$；
綜上所述，S的取值范圍是：2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$≤S≤$\frac{20π}{3}$-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、扇形面積及陰影面積的求法，利用數(shù)形結(jié)合的思想，并與切線的性質(zhì)相聯(lián)系，確定點C的位置是關鍵．