Question

16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠1=∠2=∠3．
（1）圖中有幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)你找出來(lái)，并選擇一對(duì)說(shuō)明理由．
（2）若AD=3，BD=1，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由三角形的外角和定理可證明∠DEC=∠BDC，利用由兩對(duì)角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）∵∠DEC=∠1+∠A，∠BDC=∠3+∠A，
∵∠1=∠3，
∴∠BDC=∠DEC，
∵∠2=∠3，
∴△BCD∽△CDE，
∵∠1=∠2，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵∠A=∠A，∠2=∠3，
∴△ABC∽△ADE，
∴△ADE∽△ADC，
∴圖中有4對(duì)相似三角形；
（2）∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=（3+1）×3=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴AE=$\frac{AD•AC}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角和定理以及三角形相似的判定，題目的難度不大，屬于基礎(chǔ)性題．