Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)的直線：與軸交于點(diǎn)，與拋物線的另一個交點(diǎn)為．

（1）則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，拋物線的對稱軸為__________；

（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)時．求面積的最大值；

（3）設(shè)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，拋物線的對稱軸是：直線；（2）當(dāng)時，面積的最大值為；（3）當(dāng)點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時，的值為，

【解析】

（1）利用拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，列方程直接求解，利用拋物線的對稱軸公式直接求對稱軸方程；

（2）過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，利用，建立面積與的橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最大值；

（3）分別以為邊與對角線進(jìn)行討論，利用矩形的性質(zhì)與拋物線的性質(zhì)及平移的特點(diǎn)求解的坐標(biāo)，再利用函數(shù)知識或三角函數(shù)或相似建立方程即可得到答案．

解（1）令，得，

因?yàn)椋?/span>，所以，

所以：，

，，

拋物線的對稱軸是：直線；

（2）過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，如圖1，

∵，∴拋物線的解析式為， 直線的解析式為

設(shè)點(diǎn)，則

∴

∵，∴當(dāng)時，面積的最大值為．

圖1

（3）聯(lián)立：，得，

∴點(diǎn)

①若點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的矩形中，

過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖2，

則，，，

∴，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由平移得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∴，∴（負(fù)值合去）

圖2

②若矩形中為對角線，∵，，

由，

則由平移可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)作軸，點(diǎn)作軸，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖3，

則，

，，

∴，∴（負(fù)值舍去）

∴當(dāng)點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時，的值為，．