Question

3．如果關(guān)于x的方程（6-a）（9-a）x²-（117-15a）x+54=0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a的值有幾個？

Answer 1

分析 分6-a=0、9-a=0和（6-a）（9-a）≠0三種情況考慮，當a=6或9時求出x的值，以此確定a=6或9是否合適；當（6-a）（9-a）≠0，利用分解因式法找出x₁、x₂的值，根據(jù)x₁、x₂以及a均為整數(shù)，找出a的值．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：當6-a=0，即a=6時，原方程為-27x+54=0，
解得：x=2，
∴a=6合適；
當9-a=0，即a=9時，原方程為18x+54=0，
解得：x=-3，
∴a=9合適；
當（6-a）（9-a）≠0，即a≠6且a≠9時，（6-a）（9-a）x²-（117-15a）x+54=[（6-a）x-9][（9-a）x-6]=0，
∴x₁=$\frac{9}{6-a}$，x₂=$\frac{6}{9-a}$，
∵方程的根為整數(shù)，a為整數(shù)，
∴|6-a|=1、3、9且|9-a|=1、2、3、6，
解得：a=-3、3、5、7、15且a=3、7、8、10、11、12、15，
∴a=3、7、15．
綜上：符合條件的整數(shù)a的值有5個．

點評 本題考查了因式分解法解方程，分6-a=0、9-a=0和（6-a）（9-a）≠0三種情況考慮是解題的關(guān)鍵．