Question

7．如本題圖①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．
（1）求∠ACD的大小；
（2）在線段CD的延長線上取一點F，以FD為角的一邊作∠DFE=α，另一邊交BD延長線于點E，若FD-kAD（如本題圖②所示），試求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BCD}}$的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，得到∠1=∠2=$\frac{α}{2}$，AB=AC，因為AD∥BC，推出∠2=∠3，得到∠3=∠1=$\frac{α}{2}$，得到AB=AD．AC=AD=AB．于是得到∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-∠CAD}{2}$，根據(jù)AD∥BC，∠CAD=ACB=α，得出結(jié)論∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$．
（2）過A作AH⊥BC于點H，得到∠AHB=90°．證出∠BAH=90°-α，因為AD∥BC，得出∠BDC+∠ADC=180°，然后證得對應(yīng)角相等，得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得比例式求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=$\frac{α}{2}$，AB=AC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠1=$\frac{α}{2}$，
∴AB=AD．
∴AC=AD=AB．
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-∠CAD}{2}$，
又∵AD∥BC，
∴∠CAD=ACB=α，
∴∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$．

（2）證明：過A作AH⊥BC于點H，
則∠AHB=90°．
∴∠BAH=90°-α，
∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC=180°，
即：∠BCA+∠ACD+∠CDB+∠3=180°，
由∠ACB=α，∠ACD=90°-$\frac{α}{2}$，∠3=$\frac{α}{2}$，
得：∠CDB=180°-α-（90°-$\frac{α}{2}$）-$\frac{α}{2}$=90°-α．
∴∠FDE=∠CDB=90°-α，
∴∠BAH=∠FDE，∵∠ABH=∠DFE=α，
∴△ABH∽△DEF，
∵FD=kAD，AB=AD，
∴S_△DEF=k²S_△BAH，
∵AD∥BC，
∴S_△BCD=S_△ABC=2S_△BAH，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{1}{2}$k²，

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．