Question

11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根
（1）求線段BC的長(zhǎng)度；
（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求直線BD的解析式；
（4）在x軸上是否存在P，使以O(shè)、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）列方程即可求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)解決問題．
（2）由tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解決問題．
（3）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（4）存在．如圖2中，延長(zhǎng)BD交x軸于P₁．可以證明P₁滿足條件，當(dāng)P₂與A重合時(shí)也滿足條件，再根據(jù)對(duì)稱性寫出P₃、P₄坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵由x²-2x-3=0得：
∴x₁=3，x₂=-1
∴B（0，3），C（0，-1），
∴BC=4．

（2）結(jié)論：AC⊥AB．理由如下：
∵A（$-\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（3）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．

∴∠DEA=∠AOC=90°，
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°
∵DB=DC，
∴△DBC是等邊三角形，
∵BA⊥DC，
∴DA=AC，
∵∠DAE=∠OAC，
∴△ADE≌△ACO，
∴DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$
∴$OE=2\sqrt{3}$，
∴D的坐標(biāo)為（$-2\sqrt{3}$，1）．
 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2\sqrt{3}k+b=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．

（4）存在．如圖2中，延長(zhǎng)BD交x軸于P₁．

由（3）可知，△DBC是等邊三角形，
∴∠P₁BO=60°，
∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠CAB=90°，
∴∠P₁BC=∠ACB=60°，∵∠P₁OB=∠CAB=90°，
∴△P₁BO∽△BCA，
∴$\frac{{P}_{1}O}{AB}$=$\frac{OB}{AC}$，
∴$\frac{{P}_{1}O}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴OP₁=3$\sqrt{3}$，
∴P₁（-3$\sqrt{3}$，0），
當(dāng)P₂與A重合時(shí)，△BOP₂∽△BAC，此時(shí)P₂（-$\sqrt{3}$，0），
再根據(jù)對(duì)稱性可得P₃（$\sqrt{3}$，0），P₄（3$\sqrt{3}$，0）也符合條件．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（3$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．