Question

4．如圖，在等邊三角形ABC中，將△ADE折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)A′處，已知∠ADE=45°．求：
（1）∠CEA′的余弦值；
（2）如果AB=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知得到∠AED=75°，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠A′EC=30°，利用特殊角的三角函數(shù)值解答；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=A′E，利用余弦的定義用A′E表示出EC，列式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，又∠ADE=45°，
∴∠AED=75°，
由折疊的性質(zhì)可知，∠AEA′=150°，
∴∠A′EC=30°，
∴cos∠CEA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，∠ADA′=90°，
∴∠BA′D=30°，又∠DA′E=∠A=60°，
∴∠EA′C=90°，
∴EC=$\frac{A′E}{cos∠A′EC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$A′E，
由折疊的性質(zhì)可知，AE=A′E，又AC=AB=6，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$AE+AE=6，
解得，AE=12$\sqrt{3}$-18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．