Question

20．已知函數(shù)y=x²-2x+2在t≤x≤t+1范圍內(nèi)的最小值為s，寫出函數(shù)s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可知，要求其在t≤x≤t+1范圍內(nèi)的最小值為s，主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間）討論可得二次函數(shù)的最小值即得s的函數(shù)表達式．

解答 解：據(jù)題意可知函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上，所以函數(shù)有最小值，即當(dāng)x=-$\frac{-2}{2}$=1，y_min=1，
分情況討論函數(shù)在閉區(qū)間在t≤x≤t+1范圍內(nèi)：
①當(dāng)閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）?（-∞，1）即t＜0時，得：二次函數(shù)在x=t+1時取到最小值，
∴s=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
②當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1時，得x=1時，二次函數(shù)取到最小值，s=1；
③當(dāng)閉區(qū)間[t，t+1]?（1，+∞）即t＞1時，得：x=t時，二次函數(shù)取到最小值，s=t²-2t+2．
綜上：s=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1（t＜0）}\\{1（0≤t≤1）}\\{{t}^{2}-2t+2（t＞1）}\end{array}\right.$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象，解題時要根據(jù)區(qū)間與對稱軸的位置進行分類討論，主要是分三種情況（區(qū)間在對稱軸的左邊、右邊、之間），解題時注意總結(jié)分類討論思想在求解本題中的作用．