Question

19．如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，以AC為邊作等邊△ACD，連接BD．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）如圖2，將△BCD沿直線BC折疊得△BCE，點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱點(diǎn)為E，連接AE，交BD于F，交BC于G，試判斷FG與GE的數(shù)量關(guān)系，并給與證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，由△ACD是等邊三角形，得到∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，于是得到∠BAD=150°，由于AB=AD，于是得到∠ADB=∠ABD=15°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BEC=∠BDC=45°，∠BCE=∠BCD=45°+60°=105°，求出∠DBC=∠EBC=30°，證得∠BFG=90°，于是求得FG=$\frac{1}{2}$BG，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=∠DAC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=150°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=15°，
∴∠BDC=45°；

（2）∵將△BCD沿直線BC折疊得△BCE，
∴∠BEC=∠BDC=45°，∠BCE=∠BCD=45°+60°=105°，
∴∠DBC=∠EBC=30°，
∵AC=CD=CE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=150°，
∴∠CEG=15°，
∴∠GEB=30°，
∴∠FGB=60°
∴∠BFG=90°，
∴FG=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠GBE=∠DBC=∠GEB=30°，
∴BG=GE，
∴FG=$\frac{1}{2}$GE．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換-折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．