Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=15，∠B=30°，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，且AD=AE，BD=DF，要使△DEF與△CEF均為直角三角形，則AD的值為5或6．

Answer 1

分析 由于在△ABC中，AB=AC，AD=AE，可得DE∥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EDF=30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，分∠DFE=90°和∠DEF=90°兩種情況討論可求AD的長(zhǎng)．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∴DE∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠EDF=30°，
∴當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，設(shè)AD=x，則BD=DF=15-x，DE=$\sqrt{3}$x，則15-x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$x，解得x=6；
當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，設(shè)AD=x，則BD=DF=15-x，DE=$\sqrt{3}$x，則$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（15-x）=$\sqrt{3}$x，解得x=5．
綜上所述，AD=5或6．
故答案為：5或6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．