Question

15．如圖，P為正方形ABCD邊CD上任一點，BG⊥AP于G，E為AP上一點，使AG=EG，連接BE、CE
（1）求證：BE=BC；
（2）∠CBE的平分線交AE延長于點N，連接DN，求證：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．
（3）若正方形邊長為2，當P為CD的中點時，直接寫出CE長為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據線段垂直平分線性質得：AB=BE，又因為正方形ABCD的邊長相等，根據等量代換可得結論；
（2）作輔助線，構建兩三角形全等，得AG=DH，BG=AH，再證明△BGN和△DHN是等腰直角三角形，得BN=$\sqrt{2}$BG，DN=$\sqrt{2}$HN，相加即可；
（3）連接CN，證明△DHP≌△CNP，根據勾股定理求AP的長，再由面積相等求DH的長，則NC=DH，最后由等腰直角三角形求出CE的長．

解答 證明：（1）如圖1，∵AG=EG，BG⊥AP于G，
∴AB=BE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∴BC=BE；
（2）過D作DH⊥AN于H，
∵AB=AD，∠AGB=∠AHD=90°，∠BAG=∠ADH，
∴△ABG≌△DAH，
∴BG=AH，AG=DH，
∵∠ABG=∠EBG，∠EBN=∠CBN，
∴∠ABG+∠CBN=∠EBG+∠EBN，
∴∠ABC=90°，
∴∠GBN=45°，
∴△BGN是等腰直角三角形，
∴BN=$\sqrt{2}$BG，BG=NG，
∴AH-GH=NG-GH，
∴AG=HN=DH，
∴△DHN也是等腰直角三角形，
∴DN=$\sqrt{2}$HN，
∴AN=AH+HN=BG+HN，
∴$\sqrt{2}$BG+$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AN，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$AN；
（3）如圖3，連接CN，由勾股定理得：AP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S△ADP=$\frac{1}{2}$AD•DP=$\frac{1}{2}$AP•DH，
∴DH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DP=PC，∠DPH=∠CPN，∠DHP=∠PNC=90°，
∴△DHP≌△CNP，
∴CN=DH，
∵BE=BC，BN平分∠EBC，
∴BN⊥EC，
∴CE=$\sqrt{2}$CN=$\sqrt{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的性質和判定，若題目中出現(xiàn)$\sqrt{2}$倍的關系，首先要考慮應該放在等腰直角三角形中，因為等腰直角三角形的斜邊是任一直角邊的$\sqrt{2}$倍；因此第二問的和的關系，要把三條線段轉化為一條線段，還要放在等腰直角三角形中．