Question

12．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（0，2），以P為圓心，OP為半徑的半圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)是C，一次函數(shù)y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m（m為實(shí)數(shù)）的圖象為直線l，l分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，如圖1．
（1）B點(diǎn)坐標(biāo)是（$\sqrt{3}$m，0）（用含m的代數(shù)式表示），∠ABO=30°；
（2）若點(diǎn)N是直線AB與半圓CO的一個(gè)公共點(diǎn)（兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，N為右側(cè)一點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)N作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E，如圖2．
①是否存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)$\frac{EB}{EO}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠ABO的度數(shù)；
（2）①分別利用∠NEB=90°和∠ENB=90°，結(jié)合切線的性質(zhì)得出m的值；
②首先求出NG：EN=$\sqrt{15}：4$，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)而得出m的值．

解答 解：（1）當(dāng)y=0，則0=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m，
解得：x=$\sqrt{3}$m，
故B點(diǎn)坐標(biāo)是$（\sqrt{3}m，0）$（用含m的代數(shù)式表示），
∵一次函數(shù)y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m與y軸交于點(diǎn)（0，m），
∴tan∠ABO=$\frac{m}{\sqrt{3}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°；
故答案為：（$\sqrt{3}$m，0），30；

（2）①如圖①，假設(shè)存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形．連接NP
若∠NEB=90°，∵NE是⊙P的切線，
∴∠PNE=90°，
∵∠POE=90°，
∴四邊形OPNE是矩形，
∴PN=2，∠APN=90°，
在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴m=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
若∠ENB=90°，∵NE是⊙P的切線，
∴∠PNE=90°，
∴點(diǎn)P、N、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
∴m=2，
綜上可知，m=2或2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

②如圖②，連接PN，過(guò)點(diǎn)E作，EG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)P作，PH⊥AB于H，
則PA=m-2，PH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（m-2）$，
∵$\frac{EB}{EO}$=$\frac{1}{2}$，∴EB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，EN=EO=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m$，EG=$\frac{1}{2}EB=\frac{{\sqrt{3}}}{6}m$，
∴EG：EN=1：4，∴NG：EN=$\sqrt{15}：4$，
∵∠PNE=90°，∴∠PNH+∠ENG=90°，
∵∠GNE+∠NEG=90°，
∴∠NEG=∠PNH，
∵∠PHN=∠EGN=90°，
∴△PHN∽△NGE，
∴$\frac{NG}{EN}$=$\frac{PH}{PN}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}（m-2）}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
解得：m=$2+\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和切線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．