Question

16．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是4.5．

Answer 1

分析 設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP₁⊥BC垂足為P₁交⊙O于Q₁，此時(shí)垂線段OP₁最短，P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁，求出OP₁，如圖當(dāng)Q₂在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P₂Q₂最大值=2.5+1.5=4，由此不難解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP₁⊥BC垂足為P₁交⊙O于Q₁，
此時(shí)垂線段OP₁最短，P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
∵∠OP₁B=90°，
∴OP₁∥AC
∵AO=OB，
∴P₁C=P₁B，
∴OP₁=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴P₁Q₁最小值為OP₁-OQ₁=0.5，
如圖，當(dāng)Q₂在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P₂Q₂經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，
P₂Q₂最大值=2.5+1.5=4，
∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是4.5．
故答案為：4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)PQ取得最大值、最小值時(shí)的位置，屬于中考常考題型．