Question

7．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，3）和（1，3），拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上，平移該拋物線(xiàn)使其頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，拋物線(xiàn)與x軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），給出下列結(jié)論：
①c＜3；
②當(dāng)x＜-3時(shí)，y隨x的增大而增大；
③若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為5，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的最小值為-5；
④當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時(shí)，a=-$\frac{4}{3}$，
其中正確結(jié)論的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②正確；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③錯(cuò)誤；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確，可得出答案．

解答 解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，3）和（1，3），
∴線(xiàn)段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
∴c≤3，（頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”），故①錯(cuò)誤；
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)x＜-2時(shí)，y隨x的增大而增大，
因此，當(dāng)x＜-3時(shí)，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5，則此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-2-4=-6，故③錯(cuò)誤；
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
令y=0，則ax²+bx+c=0，
CD²=（-$\frac{a}$）²-4×$\frac{c}{a}$=$\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
∴$\frac{^{2}-4ac}{a}$=-12，
∴CD²=$\frac{1}{a}$×（-12）=$\frac{12}{-a}$，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴$\frac{12}{-a}$=3²=9，
解得a=-$\frac{4}{3}$，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)．在判斷①要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況．本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．