Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=，AC=5，tanA=2，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BPD沿PD折疊，折疊后的三角形與△PBC的重合部分面積恰好等于△BPD面積的一半，則AP的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】2或5﹣

【解析】分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B′在AC的下方時(shí)，如圖1，

∵D是BC中點(diǎn)，∴S△BPD=S△PDC，

∵S△PDF=S△BPD，∴S△PDF=S△PDC，∴F是PC的中點(diǎn)，∴DF是△BPC的中位線，∴DF∥BP，

∴∠BPD=∠PDF，

由折疊得：∠BPD=∠B′PD，∴∠B′PD=∠PDF，∴PB′=B′D，即PB=BD，

過(guò)B作BE⊥AC于E，Rt△ABE中，tan∠A==2，

∵AB=，∴AE=1，BE=2，∴EC=5﹣1=4，

由勾股定理得：BC===2，

∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=，∴PB=BD=，

在Rt△BPE中，PE=1，∴AP=AE+PE=1=1=2；

②當(dāng)點(diǎn)B'在AC的上方時(shí)，如圖2，連接B′C，

同理得：F是DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB′的中點(diǎn)，∴DF=FC，PF=FB′，

∴四邊形DPCB′是平行四邊形，∴PC=B′D=BD=，∴AP=5﹣，

綜上所述，AP的長(zhǎng)為2或5﹣；

故答案為：2或5﹣．