Question

9．如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對角線，過A點(diǎn)作平行四邊形AGDB交CB的延長線于點(diǎn)G．
（1）求證：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求證：四邊形DEBF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件證明BE=DF，BE∥DF，從而得出四邊形DFBE是平行四邊形，即可證明DE∥BF，
（2）先證明DE=BE，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論．

解答 證明：（1）在平行四邊形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD
∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，BE=$\frac{1}{2}$AB
∴DF∥BE，DF=BE
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴DE∥BF；

（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC 為直角三角形，
又∵F為邊CD的中點(diǎn)，
∴BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，
又∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定．解題時(shí)，需要掌握平行四邊形與菱形間的相互聯(lián)系，難度適中．