Question

13．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在y軸上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a=1，于是得到拋物線解析式為y=（x-1）²，即y=x²-2x+1，易得B（0，1），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+m即可得到m的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，x+1），則E（x，x²-2x+1），然后求兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差即可得到h與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先求出D（1，2）得到CD=2，根據(jù)平行四邊形的判定方法，當(dāng)CD=PE時(shí)，四邊形DCEP是平行四邊形，即h=2，所以-x²+3x=2，然后解方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，
把A（3，4）代入得4a=4，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-1）²，即y=x²-2x+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x+1=1，則B（0，1），
把B（0，1）代入y=x+m得m=1；
（2）直線AB的解析式為y=x+1，
設(shè)P（x，x+1），則E（x，x²-2x+1），
所以PE=x+1-（x²-2x+1）=-x²+3x，
即h=-x²+3x（0＜x＜3）；
（3）存在．
當(dāng)x=1時(shí)，y=x+1=2，則D（1，2），
所以CD=2，
∵CD∥PE，
∴當(dāng)CD=PE時(shí)，四邊形DCEP是平行四邊形，
即-x²+3x=2，
整理得x²-3x+2=0，解得x₁=1（舍去），x₂=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；掌握平行四邊形的判定方法．