Question

14．在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，AC=7，EF為AB垂直平分線，垂足為E，交直線BC于F，則CF的長(zhǎng)為5或3．

Answer 1

分析 在△ABC中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，符合題意的三角形有兩個(gè)，畫(huà)出△ABC與△ABC′．作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出C′D=CD．由EF為AB的垂直平分線，得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB．根據(jù)△BEF、△ABD都是含30度角的直角三角形，得到BF=2BE=8，BD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=$\sqrt{3}$BD=4$\sqrt{3}$，則DF=BF-BD=4．在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=1，那么C′D=CD=1，然后求出CF=CD+DF=5，或C′F=DF-C′D=3．

解答 解：如圖，作AD⊥BC于D，
∵AC=AC′=7，AD⊥BC于D，
∴C′D=CD．
∵EF為AB垂直平分線，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴BF=2BE=8．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=$\sqrt{3}$BD=4$\sqrt{3}$，
∴DF=BF-BD=8-4=4．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴C′D=CD=1，
∴CF=CD+DF=1+4=5或C′F=DF-C′D=4-1=3．
故答案為5或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．