Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜邊AB上取兩點(diǎn)M、N，使∠MCN=45°．求證：以MN，BN，AM為邊的三角形是直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如解答圖所示，將△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACN′，連接MN′；證明△CMN≌△CMN′，則有MN=MN′；在Rt△AMN′中，AN′=BN，MN′=MN，則以MN，BN，AM為邊的三角形是直角三角形，結(jié)論得證．

解答：證明：將△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACN′，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N落在N′處，連接MN′，
則有AN′=BN，CN′=CN，∠1=∠3．
∵∠MCN=45°，∴∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠MCN′=∠MCN．
在△MCN與△MCN′中，

CM=CM ∠MCN=∠MCN′ CN=CN′

∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN=MN′．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠CAN′=∠B=45°，
∴∠MAN′=∠CAN′+∠CAB=90°，
∴△AMN′為直角三角形．
∵AN′=BN，MN′=MN，
∴以MN，BN，AM為邊的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)、全等三角形、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．