Question

6．如圖1，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與直線AC交于點(diǎn)C（2，3），直線AC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l相交于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿DA、DB運(yùn)動(dòng)，連接MN，將△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判斷四邊形DMD′N(xiāo)的形狀，并說(shuō)明理由，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，點(diǎn)D′恰好落在x軸上？
（3）在平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（異于A點(diǎn)），使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（全等除外）？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式，從而得出對(duì)稱(chēng)軸與直線的交點(diǎn)；
（2）由拋物線解析式求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)可知△ABD為等腰直角三角形，即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°，由翻折性質(zhì)得D′M=DM、DN=ND′，從而得出四邊形MDND′為菱形，根據(jù)∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形；設(shè)DM=DN=t，在Rt△D′N(xiāo)B中D′N(xiāo)=t、BN=2$\sqrt{2}$-t、BD′=2，根據(jù)勾股定理即可得出t的值；
（3）由△ABD為等腰直角三角形及△PBD與△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，結(jié)合圖形即可得答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-1，0）、C（2，3）代入y=-x²+bx+c，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（-1，0）、C（2，3）代入y=kx+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=x+1，
又∵點(diǎn)D是直線AC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，
∴x_D=1，y_D=1+1=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．

（2）四邊形DMD′N(xiāo)是正方形，理由如下：
∵拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）、B（3，0），
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AB=1+3=4，
而AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
由翻折可知：D′M=DM、DN=ND′，
又∵DM=DN，
∴四邊形MDND′為菱形，
∵∠MDN=90°，
∴四邊形MDND′是正方形；
設(shè)DM=DN=t，當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)D′處時(shí)，
∵四邊形MDND′為正方形，
∴∠D′N(xiāo)B=90°，
在Rt△D′N(xiāo)B中，D′N(xiāo)=t，BN=2$\sqrt{2}$-t，BD′=2，
∴t²+（2$\sqrt{2}$-t）²=2²，
∴t₁=t₂=$\sqrt{2}$，
即：經(jīng)過(guò)$\sqrt{2}$s時(shí)，點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處．

（3）存在，
如圖，

由（2）知△ABD為等腰直角三角形，
∵△PBD與△ABD相似，且不全等，
∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、翻折的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．