Question

如圖，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，O是AD上一點(diǎn)．
（1）若⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且半徑為

3

，則AB=

 

；
（2）若以AD為直徑的⊙O恰與BC邊相切，⊙O交AB于E，交AC于F．過(guò)O點(diǎn)的直線MN分別交線段BE和CF于M，N，且AM：MB=3：5，則AN：NC的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,切線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）首先設(shè)AD=x，則可求得AB，AC與BC的長(zhǎng)，然后由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且半徑為

3

，可得S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

（AB+AC+BC）•

3

，則可得方程：

1

2

×2

3

x•x=

1

2

×（2x+2x+2

3

x）×

3

，解此方程即可求得答案；
（2）首先連接OE，OF，然后設(shè)AB=y，易得AE=AF，△AOE，△AOF是等邊三角新，然后用y表示出AN與CN的長(zhǎng)，即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)AD=x，
∵∠B=∠C=30°，AD⊥BC，
∴AB=AC=2AD=2x，
∴BD=

AB2-AD2

=

3

x，
∴BC=2BD=2

3

x，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且半徑為

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

（AB+AC+BC）•

3

，
∴

1

2

×2

3

x•x=

1

2

×（2x+2x+2

3

x）×

3

，
解得：x=2+

3

，
∴AB=2x=4+2

3

；

（2）連接OE，OF，
∵AB=AC，
∵AD⊥BC，
∵∠BAD=∠CAD=60°，
∵OA=OE=OF，
∴△AOE與△AOF是等邊三角形，
∴AE=AF=OA，
設(shè)AB=y，
∴AD=

1

2

y，
∴AE=OE=AF=OF=

1

4

y．
∵∠BAD=∠AOF=60°，
∴OF∥AB，
∴NF：NA=OF：AM，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=

3y

3+5

=

3y

8

．
∴OF：AM=

y

4

：

3y

8

=2：3．
∴NF：（AF+NF）=2：3，
∴NF：AF=2：1，
∴NA=AF+FN=3AF=

3y

4

，
∴NC=AC-AN=

y

4

，
∴AN：NC=3：1．
故答案為：（1）4+2

3

，（2）3：1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意

1

2

（內(nèi)切圓的半徑×三角形周長(zhǎng)）=三角形的面積．