Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，連接AC、BD，半徑CO交BD于點E，過點C作切線，交AB的延長線于點F，且∠CFA=∠DCA．
（1）求證：OE⊥BD；
（2）若BE=2，CE=1
①求⊙O的半徑；
②△ACF的周長是10+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根據(jù)平行線的性質即可得到結論；
（2）①設⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理求得結論；
②連接BC，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{5}$，根據(jù)圓周角大家得到∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根據(jù)相似三角形的性質得到CF=2BF，BF=$\frac{5}{3}$，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠CFA，
∴DB∥CF，
∴∠OEB=∠OCF=90°，
∴OE⊥DB；

（2）解：①設⊙O的半徑為r，
∵CE=1，OE=r-1，
∵BE=2，
在Rt△BOE中，OB²=OE²+BE²，
∴r²=（r-1）²+2²，
∴r=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{5}{2}$；
②連接BC，
∵CE=1，BE=2，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵CF是⊙O的切線，
∴∠A=∠BCF，
∵∠F=∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=2，
∴CF=2BF，
∵$\frac{CF}{AF}=\frac{BF}{CF}$，
∴CF²=AF•BF，
∴4BF²=（5+BF）•BF，
∴BF=$\frac{5}{3}$，
∴CF=$\frac{10}{3}$，AF=$\frac{20}{3}$，
∴△ACF的周長=AC+CF+AF=2$\sqrt{5}$+$\frac{10}{3}$+$\frac{20}{3}$=10+2$\sqrt{5}$．
故答案為：10+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質，圓周角定理，平行線的判定和性質，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．