Question

20．如圖，邊長為3的正△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是$\widehat{AB}$上的動點，則PA+PB的最大值是（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出當PC是⊙O的直徑，此時PA+PB最大，進而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得出PA+PB的最大值．

解答 解：如圖所示：連接PC，BO，截取PE=AP，過點A作AF⊥BC于點F，
∵∠APC=60°，
∴△PEA為等邊三角形，
∴AE=AP，∠PAE=60°，
而∠CAB=60°，
∴∠CAE=∠BAP，
在△CAE和△BAP
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAP}\\{AE=AP}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△BAP（SAS），
∴PB=EC，
∴PB+PA=PC，
當PC是⊙O的直徑，此時PA+PB最大，
即點P是弧BA的中點，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴BF=FC=$\frac{3}{2}$，AC=3，
∴AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴設(shè)F0=x，則AO=2x，則3x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故AO=$\sqrt{3}$，
則PC=2$\sqrt{3}$，即PA+PB的最大值是2$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確得出點P是弧BA的中點，PA+PB最大是解題關(guān)鍵．