Question

【題目】如圖1，點(diǎn)、分別是邊長為的等邊邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？

（3）如圖2，若點(diǎn)、在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，直線、交點(diǎn)為，則變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）不變;

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；

（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值；

（3）同（1）可證得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠CMQ＝120°．

（1）∵在等邊三角形中，，

又由條件得，

∴，

∴，

∴.

（2）由題可知：，

①當(dāng)時(shí)，

∵，

∴

∴，

得，；

②當(dāng)時(shí)，

∵，

∴

∴，得，；

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，為直角三角形.

（3）不變.

∵在等邊三角形中，，，

∴，

又AP=BQ，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴