Question

14．讓我們來共同探究“三角形的角平分線”的特殊性質(zhì)：
如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，試探究S_△ABD與S_△ACD的比與圖中線段有何關(guān)系．
（1）下面（圖1）是小明的做法，請你完成他的步驟：過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．∵AD平分∠BAC，∴DE=DF．而S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC×DF．則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$；
（2）下面（圖2）是小華的做法，請你完成他的步驟：過點A作AP⊥BC，垂足為P，而S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{（）}{（）}$
（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，可得“三角形的角平分線”的一個新的性質(zhì)：
已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，則線段AB、AC、BD、CD的關(guān)系為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出DE=DF，再根據(jù)三角形的面積計算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$；
（2）過點A作AP⊥BC，垂足為P，根據(jù)三角形的面積計算公式，得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DF，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$，
故答案為：DE，DF，AB，DE，AC，DF；

（2）如圖2，過點A作AP⊥BC，垂足為P，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AP，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×AP，
∴則$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{BD}{CD}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$×BD×AP，$\frac{1}{2}$×CD×AP；

（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，可得：
若在△ABC中，AD平分∠BAC，則線段AB、AC、BD、CD的關(guān)系為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．
故答案為：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

點評 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積的計算公式的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．解題時注意：等高的三角形的面積之比等于底邊之比．