Question

15．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（0，-6），B（8，0）三點(diǎn)在⊙P上，M為劣弧OB的中點(diǎn)．
（1）求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；
（2）求證：AM是∠OAB的角平分線；
（3）連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N，求N、M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，根據(jù)垂徑定理，三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）根據(jù)等弧所對的圓周角相等即可證明．
（3）如圖2中，連接PM，易知PM⊥OB于H，只要證明AN=AB，可得點(diǎn)N坐標(biāo)，求出OH、MH即可得M坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．

∵O（0，0），A（0，-6），B（8，0），
∴OB=8，OA=6，
又∵OA⊥OB，
∴AB=10，
∴∠AOB=90°，
∴AB為⊙P的直徑，
∴⊙P的半徑為5，
∵PH⊥OB，PH過圓心O，
∴H為OB的中點(diǎn)，
又∵P為AB的中點(diǎn)，
∴PH=$\frac{1}{2}$OA=3，OH=$\frac{1}{2}$OB=4，
∴P的坐標(biāo)為（4，-3）．

（2）∵M(jìn)為劣弧OB的中點(diǎn)，
∴$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$，
∴∠OAM=∠BAM，
∴AM是∠OAB的角平分線．

（3）如圖2中，連接PM，易知PM⊥OB于H，

由（1）知，AB 為⊙P的直徑，
∴∠AMB=90°，
∴AM⊥BM，
由（2）知，AM是∠OAB的角平分線，
∴∠ABM=∠ANM，
∴AB=AN=10，
∴ON=4，
∴N的坐標(biāo)為：（0，4），
由（1）知，PH=3，
∴MH=2，
∴M的坐標(biāo)為（4，2）．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．