Question

求

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

的最小值．（用兩種方法解答）

Answer 1

考點：無理函數(shù)的最值

專題：

分析：先化簡式子

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，利用函數(shù)的幾何意義是x軸上的點（x，0）與點（-1，1），（2，4）距離之和求解即可．方法一運用（-1，1）關(guān)于x軸的對稱點是（-1，-1）最小值即是（-1，-1）與（2，4）之間的距離求解，方法二（-1，1）關(guān)于x軸的對稱點是（-1，-1），求出過（-1，-1）與（2，4）的直線，再求出直線與x軸的交點，利用最小值即是（-

2

5

，0）與（-1，1）的距離加上（-

2

5

，0）與（2，4）的距離求解即可．

解答：解：方法一：

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+1

+

(x-2)2+16

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，
函數(shù)的幾何意義是x軸上的點（x，0）與點（-1，1），（2，4）距離之和，由圖象可知，（-1，1）關(guān)于x軸的對稱點是（-1，-1）最小值即是（-1，-1）與（2，4）之間的距離

(-1-2)2+(-1-4)2

=

34

．
方法二：

(x2+2x+2)

+

(x-2)2+162

=

(x+1)2+1

+

(x-2)2+16

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-4)2

，
函數(shù)的幾何意義是x軸上的點（x，0）與點（-1，1），（2，4）距離之和，由圖象可知，（-1，1）關(guān)于x軸的對稱點是（-1，-1），設(shè)過（-1，-1）與（2，4）的直線為y=kx+b，
代入得

-1=-k+b 4=2k+b

，解得

k= 5 3 b= 2 3

，所以直線為y=

5

3

x+

2

3

，交x軸于（-

2

5

，0），最小值即是（-

2

5

，0）與（-1，1）的距離加上（-

2

5

，0）與（2，4）的距離：

(-1+ 2 5 )2+12

+

(2+ 2 5 )2+42

=

34

．

點評：本題主要考查了無理函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是能理清函數(shù)的幾何意義．