Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)y=$\frac{2k}{x}$（k＞0），若該反比例函數(shù)的圖象y=-x+k有交點，設(shè)交點為P，則OP的長度至少為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出求得是反比例函數(shù)和一次函數(shù)有一個交點時OP的長度，根據(jù)△=0求得k的值，從而求得解析式，聯(lián)立方程求得交點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 解：當(dāng)交點P是反比例函數(shù)和直線唯一交點時，OP的長度最小，
解$\frac{2k}{x}$=-x+k，
整理得x²-kx+2k=0，
當(dāng)△=k²-4×2k=0，
求得k=8，
∴直線為y=-x+8，反比例函數(shù)為y=$\frac{16}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{16}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴此時P（4，4），
∴OP=4$\sqrt{2}$，
∴OP的長度至少為4$\sqrt{2}$，
故答案為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，一元二次方程根的情況，求得P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．