Question

9．回顧舊知：在探究有關(guān)正多邊形的有關(guān)性質(zhì)時，我們是從那幾個方面展開的？探究的方法與過程又是怎樣的？（不要求回答）
溫馨提示，如圖1，是一個邊長為a的正六邊形．我們知道它具有如下的性質(zhì)：①正六邊形的每條邊長度相等；②正六邊形的六個內(nèi)角相等，都是120°；③正六邊形的內(nèi)角和為720°；④正六邊形的外角和為360°．等．
解答問題：
（1）觀察圖2，請你在下面的橫線上，再寫出邊長為a的正六邊形所具有不同于上述的性質(zhì)（不少于5條）：答案不唯一．
（2）尺規(guī)作圖：在圖2中作出圓內(nèi)接正六邊形的內(nèi)切圓（不要求寫作法，只保留作圖痕跡）；
（3）求出這個正六邊形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值．

Answer 1

分析 （1）直接利用正六邊形的性質(zhì)以及結(jié)合正多邊形和圓的性質(zhì)分別得出即可；
（2）利用正六邊形的內(nèi)切圓得出其邊心距即內(nèi)切圓的半徑，即可得出答案；
（3）求出正六邊形內(nèi)切圓的半徑進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）①正六邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
②正六邊形的面積為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²，周長為6a；
③正六邊形有一個內(nèi)切圓、外接圓，它們是同心圓；
④圓內(nèi)接正六邊形的每條邊在圓內(nèi)所對的優(yōu)弧長度相等；
⑤圓內(nèi)接正六邊形的每條邊在圓內(nèi)所對的優(yōu)弧的弧度相等；
⑥圓內(nèi)接正六邊形的每條邊（或說弦）在圓內(nèi)所對的劣弧的長度相等；
⑦圓內(nèi)接正六邊形的每條邊（或說弦）在圓內(nèi)所對的劣弧的弧度相等；
⑧圓內(nèi)接正六邊形的每條邊（或說弦）在圓內(nèi)所對的圓心角（中心角）相等，都是60°；
⑨圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑；
⑩圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a等．

（2）如圖2所示：

（3）如圖2，連結(jié)EO，在Rt△ONE中，
∵OE=DE=a，
∠EON=$\frac{1}{2}$DOE=30°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴邊長為a正六邊形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值為：$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題主要考查了正多邊形和圓以及正六邊形的性質(zhì)，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．