Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=$\sqrt{3}$，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，將線段DC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線DC方向平移至D′C′，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，連接D′E并延長(zhǎng)，交C′B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求BC′的長(zhǎng)；
（2）證明：四邊形AFBD′是平行四邊形；
（3）當(dāng)四邊形AFBD′是菱形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明DD′=CC′=1，再利用勾股定理即可解決問題．
（2）欲證明四邊形AFBD′是平行四邊形，只要證明ED′=EF，利用平行線分線段成比例定理即可證明．
（3）當(dāng)FD′⊥AB時(shí)四邊形AFBD′是菱形，求出DD′即可解決問題．

解答 解：（1）t=1時(shí)，DD′=1，
∵CD=C′D′，
∴CC′=DD′=1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=$\sqrt{3}$，∠BCD=∠BCC′=90°，
∴BC′=$\sqrt{B{C}^{2}+CC{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，'
∵AE=EB，EB∥C′D′，
∴$\frac{FE}{FD′}$=$\frac{EB}{C′D′}$，
∵C′D′=CD=AB，
∴$\frac{FE}{FD′}$=$\frac{1}{2}$，
∴ED′=EF，∵AE=EB，
∴四邊形AFBD′是平行四邊形．

（3）∵四邊形AFBD′是平行四邊形，
∴當(dāng)D′F⊥AB時(shí)，四邊形AFBD′是菱形，
∵∠D=∠DAB=∠AED′=90°，
∴四邊形AED′D是矩形，
∴DD′=AE=2，
∴t=2，
∴t=2時(shí)四邊形AFBD′是菱形時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，證明E是FD′中點(diǎn)是解題的突破口，屬于中考�？碱}型．