Question

16．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．

（1）出發(fā)4秒后，求PQ的長；
（2）當點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB與△ABC相似？
（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△APQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

分析 （1）首先判定點Q的位置，求出BQ、BP利用勾股定理即可．
（2）分兩種情形）①當PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC，②當∠BPQ=∠C時，由∠B=∠B，得△BPQ∽△BCA，列出方程即可解決問題．
（3）分三種情形①如圖1中，當PA=PQ時，作PM⊥AC于M，根據cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，列出方程即可．②如圖2中，當AP=AQ時，③如圖3中，當QP=QA時，作QM⊥AB于M，
根據cosA=$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$，列方程即可．

解答 解：（1）t=4時，BQ=2×4=8＜12，此時Q在BC邊上，AP=4×1=4，
在Rt△PBQ中，∵∠B=90°，BQ=8，BP=AB-AP=16-4=12，
∴PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．

（2）①當PQ∥AC時，△PBQ∽△ABC，∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{16-t}{16}$=$\frac{2t}{12}$，
∴t=$\frac{48}{11}$，
②當∠BPQ=∠C時，
∵∠B=∠B，∴△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{16-t}{12}$=$\frac{2t}{16}$，
∴t=$\frac{32}{5}$，
∴t=$\frac{48}{11}$秒或$\frac{32}{5}$秒時，△PQB與△ABC相似．

（3）①如圖1中，當PA=PQ時，作PM⊥AC于M，

∵PA=PQ，PM⊥AQ，
∴AM=MQ．
∴cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∵AP=t，AM=MQ=$\frac{1}{2}$（32-2t）=16-t，
∴$\frac{16-t}{t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{80}{9}$
②如圖2中，當AP=AQ時，

t=32-2t，解得t=$\frac{32}{3}$，
③如圖3中，當QP=QA時，作QM⊥AB于M，

∵cosA=$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\frac{t}{2}}{32-2t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{256}{21}$，
綜上所述當t=$\frac{80}{9}$或$\frac{32}{3}$或$\frac{256}{21}$秒時，△APQ是等腰三角形．

點評 本題考查相似三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會分類討論，不能漏解，學會利用方程的首先思考問題，屬于中考常考題型．