Question

如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E在同一條直線上，連接BD、BE．把以下所有正確結論的序號都填在寫在橫線上：

 

．
①BD=CE；  ②∠ACE+∠DBC=45°；
③BD⊥CE； ④BE²=2（AB²+AD²）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出結論；
③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出結論；
④△BDE為直角三角形就可以得出BE²=BD²+DE²，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE²=2AD²，BC²=2AB²，就有BC²=BD²+CD²≠BD²就可以得出結論．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AD=AE ∠BAD=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．故①正確；

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE；故②正確；

③∵，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正確；

④∵BD⊥CE，
∴BE²=BD²+DE²．
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE²=2AD²，BC²=2AB²．
∵BC²=BD²+CD²≠BD²，
∴2AB²=BD²+CD²≠BD²，
∴BE²≠2（AD²+AB²）．故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，垂直的判定及性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，解答時運用全等三角形的性質求解是關鍵．