Question

4．如圖1，直線y=-2x+4與x軸、y軸相交于點A、B，拋物線經(jīng)過A、B兩點，點C（-1，0）在拋物線上，拋物線的頂點為點D，直線l垂直于x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBD是以BD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，直線l在線段OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點G，交AB于點M，交拋物線于點E，作EF⊥AB于點F．若點M的橫坐標為m，求線段EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）易求得A、B坐標，利用待定系數(shù)法，將A，B，C的坐標代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）作出圖形，找出P點的位置，即可解題；
（3）易用m表示線段EM的長度，再求得EM和EF的長度關(guān)系即可解題．

解答 解：（1）直線y=-2x+4與x軸、y軸的交點A、B的坐標分別是A（2，0）、B（0，4），
設(shè)所求的函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，把點A（2，0）、B（0，4）、C（-1，0）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=2，c=4，
∴y=-2x²+2x+4；
（2）存在，作出圖形，拋物線解析式為y=-2x²+2x+4，
∴頂點D的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
①如圖①，此時BD=DP；P點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

②如圖②，此時BD=DP；P點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

③如圖③，此時BD=BP；P點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）；
；
（3）由題意可設(shè)M（m，-2m+4），E（m，-2m²+2m+4），
則EM=-2m²+2m+4-（-2m+4）=-2m²+4m；
∵在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵y軸∥EG，
∴△AOB∽△AGM，
∴$\frac{AG}{AM}$=$\frac{OA}{AB}$；
∵在△EMF和△AMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGM=∠EFM=90°}\\{∠AMG=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴△EMF∽△AMG，
∴$\frac{AG}{AM}$=$\frac{EF}{EM}$，
∴$\frac{EF}{EM}$=$\frac{AG}{AM}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（-2m²+4m）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（m-1）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴當(dāng)m=1時，線段EF的長有最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了二次函數(shù)最大值的求解；要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．